Тригонометрические функции в Excel: руководство и шпаргалка

Кратко: Excel использует радианы для всех тригонометрических функций. Преобразуйте градусы в радианы с помощью RADIANS, обратно — с DEGREES, а для точного значения π используйте PI(). Для ошибок округления применяйте ROUND или сравнение с допуском. В статье — синтаксис, примеры SIN и ASIN, советы по точности, шпаргалка по всем основным функциям, рабочие процедуры и тесты.

О чём эта статья

Это подробное руководство по применению тригонометрических функций в Excel. Подходит для студентов, инженеров, аналитиков и преподавателей. Вы узнаете основные функции, детали синтаксиса, как работать с градусами и радианами, как исправлять погрешности вычислений и как автоматизировать расчёты.

Важно: термины

• Радиан — единица измерения углов, где π радиан = 180 градусов.
• Погрешность представления π — ограничение конечной точности в Excel (π хранится до 15 значащих цифр).

Основы: DEGREES, RADIANS и PI

Прежде чем применять SIN или COS, нужно понимать, в каких единицах работает Excel. Все тригонометрические функции Excel принимают радианы. Это значит, что при вводе значений в градусах их надо конвертировать.

DEGREES

Функция переводит радианы в градусы:

=DEGREES(value_in_radians)

Пример: если в ячейке A1 лежит 3.14159, то =DEGREES(A1) вернёт примерно 180.

RADIANS

Функция переводит градусы в радианы:

=RADIANS(value_in_degrees)

Пример: =RADIANS(90) вернёт примерно 1.5708.

PI

Функция возвращает значение π, доступное в Excel:

=PI()

Excel хранит π с точностью до 15 значащих цифр. Использование PI() предпочтительнее ручной подстановки 3.14.

Список основных тригонометрических функций (шпаргалка)

Примечание: для обратных функций входное число для ASIN и ACOS должно лежать в интервале [-1, 1].

Пример: как использовать SIN в Excel шаг за шагом

В исходном примере у нас есть столбец углов в градусах. Нужно получить их синусы.

1. Подготовьте таблицу: в столбце A — углы в градусах (A2:A7).
2. В ячейке B2 введите формулу:

=SIN(RADIANS(A2))

3. Нажмите Enter.
4. Скопируйте формулу вниз, перетащив маркер заполнения.

Формула сначала переводит градусы в радианы, затем вычисляет синус.

Почему получаются небольшие погрешности

Иногда для углов 0° или 180° Excel возвращает числа, очень близкие к нулю, но не равные нулю. Это связано с конечной точностью представления π и операций с плавающей запятой.

Как исправить:

• Отформатируйте ячейки с помощью числового формата с нужным количеством знаков после запятой.
• Или явно округляйте результат, например:

=ROUND(SIN(RADIANS(A2)), 6)

• Для логических сравнений используйте допуск (tolerance): вместо =B2=0 применяйте =ABS(B2) < 1E-9.

Пример: как использовать ASIN в Excel

ASIN вычисляет арксинус числа и возвращает угол в радианах. Если нужно получить градусы, оберните результат в DEGREES.

Синтаксис:

=ASIN(number)

Пример, чтобы получить угол в градусах по значению синуса, записанному в B2:

=DEGREES(ASIN(B2))

Пошагово:

1. Выберите ячейку C2.
2. Введите =DEGREES(ASIN(B2)).
3. Нажмите Enter и протяните формулу вниз.

Особенности:

• Входное значение для ASIN должно быть в диапазоне [-1, 1]. В противном случае Excel вернёт ошибку #NUM!.
• ASIN возвращает наименьший по модулю угол, то есть результат лежит в интервале [-90°, 90°]. Если для конкретного применения нужен другой угол (например, угол в 0–180°), придётся применять дополнительные проверки и допуски.

Типичные сценарии и решения ошибок

1. Неверный диапазон для обратных функций

   • Симптом: #NUM! при ASIN или ACOS.
   • Решение: проверьте источник данных; нормализуйте значение в [-1, 1] или выявите ошибочную запись.

2. Погрешности из-за представления π

   • Симптом: очень маленькие, но не нулевые значения там, где ожидали 0.
   • Решения: форматирование, ROUND, сравнение с допуском.

3. Тангенс в разрыве

   • Симптом: большие значения или ошибка в точках, где косинус равен 0.
   • Решение: проверка угла перед вычислением, использование ATAN2 при работе с координатами.

4. Неправильный единичный ввод

   • Симптом: результат выглядит синтетическим или некорректным.
   • Решение: стандартизируйте входные единицы — все углы в градусах или радианах.

Альтернативные подходы и расширения

• VBA-макросы: если нужно массово конвертировать сотни тысяч значений или применять нестандартные правила округления, можно написать макрос, который обрабатывает диапазоны и возвращает аккуратно округлённый результат.
• Power Query: для предобработки входных данных (очистка, нормализация, фильтрация) перед вычислениями.
• Python/NumPy: для научных расчётов с более строгим контролем точности и возможностью работы с произвольной точностью (через decimal или mpmath) и последующей отправкой результатов в Excel.

Ментальные модели и эвристики

• Всегда думайте в радианах: внутренняя модель Excel оценивает углы как радианы, значит лучше явно конвертировать и документировать это в таблицах.
• Погрешность — нормальное явление: для визуализации округляйте. Для проверок используйте допуск.
• Обратные функции дают главный (principal) корень: если вам нужен другой угол, добавьте логическую логику.

Роль-based чек-лист: студент, аналитик, преподаватель

• Студент

  • Убедиться, что углы заданы в градусах или в радианах и отмечено в комментариях.
  • Использовать RADIANS при вводе формул.
  • Округлять вывод при сдаче задания.

• Аналитик

  • Прописать допуски для сравнений.
  • Документировать единицы измерения в шапке таблицы.
  • Автоматизировать конвертацию при импорте данных.

• Преподаватель

  • Подготавливать образцы с явной конвертацией.
  • Показывать примеры, где ASIN возвращает главный угол и объяснять альтернативные представления.

Шаблон SOP: преобразование списка углов в синусы и обратные углы

1. Импортируйте или вставьте углы в столбец A (A2 и далее). Укажите в шапке, что это градусы.
2. В колонке B добавьте формулу =SIN(RADIANS(A2)).
3. В колонке C добавьте формулу =DEGREES(ASIN(B2)) для получения арксинуса в градусах.
4. Примените =ROUND(..., n) по необходимости, где n — число значимых знаков.
5. Для контроля качества добавьте в колонку D проверку =ABS(SIN(RADIANS(C2)) - B2) < tolerance.
6. Заведите отдельный лист с описанием всех используемых формул и допусков.

Критерии приёмки

• Формулы применены ко всем строкам без пропусков.
• Все входные значения документированы (градусы/радианы).
• Разброс ошибок не превышает заданного допуска (например, 1E-6).
• Для значений на границах (0, 90, 180, 270) результаты округлены до видимого нуля там, где это требуется.

Тестовые случаи и критерии успеха

1. Вход 0°: ожидаемый SIN = 0. Тест: ABS(B2) < 1E-9.
2. Вход 90°: ожидаемый SIN = 1. Тест: ABS(B2 - 1) < 1E-9.
3. Вход 180°: ожидаемый SIN = 0. Тест: округление до видимого нуля.
4. ASIN с входом 1: ожидаемый DEGREES(ASIN(1)) = 90°.
5. ASIN с входом 1.5: ожидаем #NUM!.

Таблица быстрого доступа: примеры формул

• Синус градуса в A2:

=SIN(RADIANS(A2))

• Косинус градуса в A2 с округлением до 4 знаков:

=ROUND(COS(RADIANS(A2)), 4)

• Арксинус значения в B2 в градусах:

=DEGREES(ASIN(B2))

• Тангенс с защитой от разрыва (приближённая проверка косинуса):

=IF(ABS(COS(RADIANS(A2))) < 1E-12, NA(), TAN(RADIANS(A2)))

Пример использования ATAN2 для вычисления угла по координатам

При работе с координатами полезна функция ATAN2 в сочетании с DEGREES:

=DEGREES(ATAN2(y, x))

Это возвращает угол в градусах между положительной осью X и вектором (x,y), корректно обрабатывая квадранты.

Диаграмма принятия решения (Mermaid)

flowchart TD
  A[Есть ли углы в градусах?] -->|Да| B[Преобразовать в радианы с RADIANS]
  A -->|Нет| C[Углы уже в радианах]
  B --> D[Выбрать функцию: SIN/COS/TAN/...]
  C --> D
  D --> E{Нужен обратный угол?}
  E -->|Да| F[Вычислить ASIN/ACOS/ATAN и использовать DEGREES при необходимости]
  E -->|Нет| G[Оставить результат]
  F --> H[Проверить диапазоны входных значений]
  G --> I[Округлить или применить допуск]
  H --> I

1‑строчный словарь

• Радиан: мера угла, где π радиан = 180°. 1 радиан ≈ 57.2958°.
• DEGREES/RADIANS: функции для конвертации между градусами и радианами.
• PI: точное на уровне Excel значение числа π.
• ROUND: округление чисел до заданного количества знаков.

Советы по безопасности и приватности данных

Тригонометрические расчёты обычно не затрагивают персональные данные. Если вы обрабатываете файлы с личной информацией, следите за общими правилами безопасности: хранение файлов в защищённых местах, удаление временных копий и минимизация доступа.

В каких случаях подобный подход не сработает

• Нужна произвольная точность вычисления π выше 15 значащих цифр для специальных математических задач. В этом случае Excel ограничен — используйте математические библиотеки с поддержкой произвольной точности.
• Необходимо аналитическое решение: Excel даёт численные результаты, но не символическое выражение.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли вводить углы сразу в градусах в SIN?

Нет. Если вы введёте числа в градусах напрямую, результат будет неверным. Всегда либо переводите в радианы с помощью RADIANS, либо предварительно храните углы в радианах.

Почему Excel даёт не ноль для синуса 180°?

Это результат конечной точности представления π и операций с плавающей запятой. Округление или использование допусков решают проблему для практических задач.

Как избежать ошибки #NUM! при ASIN?

Убедитесь, что входное значение находится в диапазоне [-1, 1]. Для данных с шумом используйте нормализацию или обрезку: =IF(B2>1,1,IF(B2<-1,-1,B2)) перед ASIN.

Короткое резюме

• Excel использует радианы; конвертируйте градусы и обратно с RADIANS и DEGREES.
• Используйте PI() для точного значения π.
• Округление и допуски помогают устранить артефакты вычислений.
• Для сложных задач рассмотрите VBA, Power Query или внешние математические библиотеки.

Социальный сниппет (для копирования)

Тригонометрические функции Excel: как работать с градусами и радианами, избегать ошибок точности и применять SIN/ASIN правильно. Простые формулы, шпаргалка и SOP для автоматизации.