Площадь под графиком в Excel

Excel на фоне.

Площадь под графиком — это количественная мера, часто равная «накопленному» значению (например, расстояние при умножении скорости на время). В Excel нет встроенной функции «площадь под графиком», но есть инструменты и приёмы, позволяющие получить точный или приближённый результат быстро и прозрачно.

В этой статье вы найдёте пошаговую инструкцию: как подготовить данные и график, как настроить визуализацию для удобного снятия высот и баз, как написать формулы для поочерёдного подсчёта площади, а также альтернативные методы, проверки, шаблоны и рекомендации по автоматизации.

Что даёт площадь под графиком и когда это полезно

Физический смысл: при осях «время — скорость» площадь равна пройденному пути; при «частота — спектральная плотность» — энергии в полосе; при «концентрация — время» — накопленное вещество.
Статистический смысл: интеграл функции даёт суммарный вклад величины по диапазону x.

Important: если значения y могут быть отрицательными, суммирование даёт алгебраическую (знаковую) площадь. Если нужна суммарная положительная площадь, применяйте абсолютные значения или интегрируйте промежутки по отдельности.

Быстрый план действий (коротко)

Подготовьте таблицу с парами (x, y) в соседних столбцах (например, A — x, B — y).
Постройте area-диаграмму (площадь) для визуальной проверки. Добавьте вертикальные сетки и подписи значений.
В третьем столбце последовательно вычисляйте накопленную площадь: для первого сегмента 0, далее формулы для треугольников/трапеций/прямоугольников.
Для суммарного результата используйте SUMPRODUCT (векторный сумматор) или сводную формулу/макрос.

Подготовка данных: формат и порядок

Убедитесь, что столбец x отсортирован по возрастанию (слева направо или сверху вниз).
x и y должны быть в совместимых единицах: если x — секунды, а y — метры/секунду, то итог будет в метрах.
Если точки равномерно распределены по x, можно применять более точные численные методы (например, правило Симпсона). Если неравномерно — трапециевое правило универсальнее.

Совет: пометьте заголовки столбцов, например A1 = “Время (с)”, B1 = “Скорость (м/с)”, C1 = “Накопленная площадь (м)” — это поможет однотипным формулам и проверке единиц.

Создание и настройка графика в Excel

Диаграмма площади в Excel.

Выделите диапазон данных X и Y (например, A2:B9).
Вкладка “Вставка” → секция “Диаграммы” → выберите тип “Площадь” (2-D Area).
Если ось X не принимает ваши метки, кликните правой кнопкой по диаграмме → «Выбрать данные» → «Редактировать» под подписью горизонтальной оси и укажите диапазон меток (например A2:A9).

Настройка для удобного снятия высот

Настройка диаграммы в Excel.

Добавьте вертикальные сетки: Вкладка «Конструктор диаграмм» → Добавить элемент диаграммы → Сетки → Основные вертикальные.
Сделайте заливку серии полупрозрачной: дважды кликните по серии → Формат ряда данных → Заливка → Непрозрачность (Transparency) 30%. Это позволит видеть сетки под областью.
Включите подписи данных: Конструктор диаграмм → Добавить элемент диаграммы → Подписи данных → Показать.

Эти правки упрощают чтение высот (значений y) и расстояний по оси x прямо с графика.

Подходы к вычислению площади: геометрия и численные методы

Площадь между двумя соседними точками на графике можно аппроксимировать простыми геометрическими фигурами:

Прямоугольник: если значение y не меняется на интервале (редко в реальных данных).
Треугольник: если одна из вершин значения равна нулю (или экстремально мала).
Трапеция: общий случай для двух соседних точек с любыми y-значениями.

Трапеция — самый простой и надёжный базовый метод: площадь между xi и xi+1 равна (yi + yi+1) * (xi+1 - xi) / 2.

Поэтапный метод (накопительный в столбце)

Предположим: A2:A9 — x (время), B2:B9 — y (скорость). В столбце C считаем накопленную площадь (итог в той же единице, что и y×x).

В C2 введите 0 (площадь до первой точки = 0).
В C3 введите формулу для первого сегмента (если первый сегмент фактически треугольник от 0 до B3):

=(A3-A2)*(B3)/2 + C2

Описание: это классический случай, когда скорость в момент A2 равна нулю (B2 = 0). Если B2 не равна 0, примените формулу трапеции (см. далее).

В C4 и ниже используйте формулу трапеции и копируйте её вниз через маркер заполнения:

=(B3+B4)*(A4-A3)/2 + C3

Здесь каждая строка добавляет площадь трапеции между соседними точками и суммирует с накопленным значением сверху.

Примечание: порядок индексов должен соответствовать вашей нумерации строк. При копировании относительные ссылки смещаются автоматически.

Векторный подсчёт общей площади (SUMPRODUCT)

Если нужно получить только суммарную площадь без накопления по промежуткам, удобно использовать SUMPRODUCT. Для диапазона A2:A9 и B2:B9 формула суммарной площади по трапециевому правилу будет выглядеть так:

=SUMPRODUCT((A3:A9-A2:A8),(B2:B8+B3:B9)/2)

Пояснение: первая скобка — ширины интервалов, вторая — средние высоты (сумма двух соседних y делённая на 2). SUMPRODUCT умножает элементы попарно и суммирует результирующие произведения.

Важно: диапазоны в SUMPRODUCT должны иметь одинаковую длину; здесь оба имеют длину 7 (для 8 точек в A2:A9 есть 7 интервалов).

Альтернатива: правило Симпсона (точнее, для равномерной сетки)

Правило Симпсона даёт более точную аппроксимацию при гладкой функции и равных шагах по оси x. Но у него есть требование: количество интервалов должно быть чётным, и шаги по x равны.

Коротко: если х равномерные, то итоговая формула комбинирует веса 4 и 2 для средних точек; в Excel это можно реализовать через SUMPRODUCT с шаблоном весов или через пользовательскую функцию.

Когда использовать Симпсона: когда у вас равномерная сетка и вы хотите повысить точность по сравнению с трапецией. В противном случае трапеция — универсальный выбор.

Обработка особых случаев и ошибки вычислений

Негативные y: суммирование даёт знаковую площадь; если нужна площадь по модулю — используйте ABS в формуле трапеций: =(ABS(B2)+ABS(B3))*(A3-A2)/2, но это меняет физический смысл.
Пропуски (пустые ячейки): SUMPRODUCT проигнорирует их некорректно; лучше удалить или интерполировать пропущенные точки.
Дублирующиеся x: интервалы нулевой ширины дают нулевую площадь — убедитесь в уникальности значений x для расчёта интеграла.
Нерегулярные шаги: трапеция учитывает ширины интервалов (xi+1 - xi), значит корректна для неравномерной сетки; Симпсон — нет.

Проверка корректности: тестовые сценарии

Критерии приёмки:

Линейная функция y = kx + b на отрезке должна давать известную аналитическую площадь, совпадающую с суммой трапеций (погрешность ≈ 0).
Для постоянной функции y = c численное интегрирование должно давать c*(x_max - x_min).
При симметричной положительной/отрицательной функции суммарная знаковая площадь должна совпадать с аналитической (если это ожидаемо).

Минимальные тесты (ручная проверка):

Две точки: A2=0, B2=0; A3=10, B3=2 → площадь = (0+2)*(10-0)/2 = 10.
Равномерная сетка и квадратичная функция: сравните с аналитическим интегралом, чтобы оценить ошибку метода.

Автоматизация: макрос VBA для трапеций

Если вы часто повторяете расчёт по разным листам, имеет смысл применять макрос. Пример функции, которая возвращает суммарную площадь методом трапеций (вставьте в модуль VBA):

Function TrapezoidalArea(xRange As Range, yRange As Range) As Double
    Dim n As Long, i As Long
    Dim xArr As Variant, yArr As Variant
    Dim area As Double

    xArr = xRange.Value
    yArr = yRange.Value
    n = xRange.Rows.Count
    area = 0

    For i = 1 To n - 1
        area = area + ((yArr(i, 1) + yArr(i + 1, 1)) * (xArr(i + 1, 1) - xArr(i, 1)) / 2)
    Next i

    TrapezoidalArea = area
End Function

Пример использования в ячейке: =TrapezoidalArea(A2:A9,B2:B9)

Notes: макрос работает для вертикальных диапазонов (столбцы). Для строк потребуются незначительные правки.

Шаблон таблицы (рекомендуемая структура)

A1: “x (единицы)”
B1: “y (единицы)”
C1: “Накопленная площадь (единицы^2)”
строки с 2 по N: данные точек; C2 = 0; C3..CN — формулы трапеций, копируемые вниз.

Пример заполнения формул (для A2:A9, B2:B9):

C2: 0
C3: =(A3-A2)*(B3)/2 + C2 (если B2 = 0)
C4: =(B3+B4)*(A4-A3)/2 + C3
или, суммарная в любой ячейке: =SUMPRODUCT((A3:A9-A2:A8),(B2:B8+B3:B9)/2)

Роли и проверки (чек-листы)

Аналитик:

Проверил единицы измерений x и y.
Отсортировал x по возрастанию.
Убедился в отсутствии пустых или дублирующих x.
Сравнил численную сумму с аналитическим интегралом для простых функций.

Студент/учитель:

Построил диаграмму и визуально оценил поведение функции.
Выделил ключевые сегменты (положительные/отрицательные участки).
Объяснил физический смысл получаемой площади.

Разработчик/автоматизатор:

Написал функцию VBA и протестировал её на граничных случаях.
Добавил обработку исключений (некорректные диапазоны, строки вместо столбцов).

Краткий глоссарий

Трапеция: двумерная фигура, площадь которой для баз a и b и высоты h равна (a+b)*h/2.
Трапециевое правило: численный метод интегрирования, суммирующий площади трапеций между соседними точками.
Правило Симпсона: более высокоточный метод для равномерной сетки, использующий квадратичную аппроксимацию на парах интервалов.

Когда этот подход не подойдёт

Если функция задана аналитически и вы можете взять точный интеграл — численные методы уступают аналитике.
Для экстремально нерегулярных и разреженных данных численные приближения могут быть очень грубыми; либо интерполируйте, либо собирайте дополнительные точки.
Для быстрого приближённого визуального ответа достаточно площади на графике, но для отчёта делайте численные расчёты в таблице.

Итог и рекомендации

Площадь под графиком в Excel — это не одна встроенная функция, а набор приёмов: корректная подготовка данных, визуальная проверка через диаграмму и численный подсчёт секций (трапеций/треугольников/прямоугольников). Для большинства задач метод трапеций в Excel обеспечивает надёжный и простой результат. Если нужна автоматизация — используйте SUMPRODUCT или макрос VBA.

Summary: Разбейте область на небольшие сегменты, вычислите площадь каждого сегмента геометрически и просуммируйте. Для равномерных данных подумайте о правиле Симпсона. Проверяйте результат на простых тестах с известными интегралами.

Если нужно, могу подготовить готовую книгу Excel с примером данных, формулами и макросом для загрузки и проверки на вашей собственной выборке.